Die Mathematik hinter Sudoku

In dem herkömmlichen japanischen Logikrätsel von 81 Feldern, die auf einem 9x9 Raster angeordnet sind, werden je nach Schwierigkeit einige Ziffern vom Ersteller des Rätsels eingetragen – der Spieler muss dann die übrigen Ziffern anhand des bekannten Sudoku-Regelwerkes ableiten: In keinem 3x3 Block darf eine Ziffer doppelt stehen, zusätzlich darf für jede Reihe und Spalte eine Ziffer nur jeweils einmal stehen. Für den neugierigen und knobelfreudigen Sudoku-Spieler ergeben sich mehrere Fragen, die über das reine Ausfüllen eines Gitters hinausgehen – schließlich werden bei regelmäßigem Rätselsport auf lange Sicht eine Menge Sudokus gespielt. Muss beim Kauf von Rätselbüchern davon ausgegangen werden, dass sich die einzelnen Rätsel wiederholen? Wieviele mögliche Sudokus gibt es eigentlich auf einem neun Felder langen, quadratischen Gitter? Gibt es eine Anzahl an mindestens vorgegebenen Ziffern, die ein Sudoku eindeutig lösbar macht?

Wieviele Sudoku gibt es?

Das Erstellen von Sudokus kann zwar auf unterschiedliche Methoden erfolgen, aber alle Wege folgen strengen mathematischen Regeln. Und die Menge aller möglichen Sudokus wurde 2005 von zwei Mathematikern ausgerechnet: Es sind rund 6,7 Trilliarden (6 Komma 7 mit 21 Nullen dahinter!)

Wie wird die Anzahl möglicher Sudoku bestimmt?

Diese Zahl kann durch eine lange Reihe von Multiplikationen errechnet werden. In einem Block eines Sudokus von 3x3 Feldern bestehen für die Anordnung der Ziffern 9!-Möglichkeiten (sprich: Neun-Fakultät, also 9 mal 8 mal ... mal 3 mal 2 mal 1. Hier ist das Ergebnis schon sechsstellig, nämlich 362.880.) Dies gilt für alle Blöcke, die zudem untereinander in der Reihe und der Spalte getauscht werden können. Die Reihen und Spalten können zudem in jeder ihrer Kombinationsmöglichkeiten versetzt werden und zudem gibt es auch die Möglichkeit Rotationen vorzunehmen. Exakt ergeben sich so 6.670.903.752.021.072.936.960 Sudokus. Obwohl diese Zahl erst einmal verdaut werden muss, ergeben sich schnell weitere Fragen: Vertauschte jemand in einem Sudoku zwei Ziffern vollständig miteinander, also beispielsweise alle Einsen gegen alle Dreien, dann bliebe ja die Anordnung der Felder zueinander grundsätzlich bestehen. Es ließe sich also argumentieren, dass in diesem Falle gar kein einzigartiges, neues Sudoku geschaffen worden wäre. Veränderungen, für die diese Argumentation anwendbar ist, beschränken sich nicht lediglich auf getauschte Ziffern. Denkbar sind auch Drehungen um 90 oder 180 Grad. Wobei letzteres bereits eine Spiegelung wäre, und die könnte ja auch an anderen Achsen vollzogen werden! Für die Summe der Sudokus ohne solche Vertauschungsmöglichkeiten wurde eine etwas handlichere Zahl errechnet: 18,4 Billiarden Sudokus (Exakt: 18.383.222.420.692.992).

Dem ungetrübten Rätselspaß liegt also ein sehr großer Fundus individueller Rätsel zu Grunde. Für Spieler ist es damit ausgesprochen unwahrscheinlich, ein spezifisches Sudoku zweimal in freier Wildbahn zu treffen. Und mal ehrlich: Selbst wenn, würde ein Spieler dies merken?

Wieviele Zahlen hat ein Sudoku mindestens?

Die Frage nach den notwendigerweise vorgegebenen Ziffern ist recht knapp zu beantworten, nachdem einmal zwischen eindeutig und nicht-eindeutig zu lösenden Rätseln unterschieden wurde. Ein echtes Sudoku zeichnet sich per Definition dadurch aus, dass es nur durch eine einzige regelkonforme Vervollständigung gelöst werden kann und für diese Lösung nicht geraten werden muss. Es ist ein eindeutig lösbares Puzzle. Eine fast vollständig ausgefüllte Vorlage mit 77 belegten Feldern, bei denen die letzten vier Ziffer jeweils paarweise gegeneinander ausgetauscht werden können – ohne, dass eine Regelverletzung vorliegt, wäre also nicht eindeutig lösbar und damit kein Sudoku im eigentlichen Sinn – auch wenn es bis dahin so aussah.

Für eindeutige Lösbarkeit wurde eine Grenze von mindestens 17 vorbelegten Feldern durch Computer von Forschern errechnet – allerdings ist bis dato kein mathematischer Beweis vollbracht, warum die Grenze bei eben genau 17 liegt.

Um aber auf das Beispiel für keine eindeutige Lösbarkeit zurückzukommen: Für die vorgegebenen Ziffern ist klar, dass sie aus mindestens acht verschiedenen Zahlen bestehen müssen. Wenn nicht, ließen sich – im Falle von sieben verschiedenen Zahlen in der Vorbelegung – alle Felder der letzten beiden Zahlen untereinander vollständig tauschen, und die obige Definition wäre nicht weiter erfüllt.

Geistige Fitness durch Sudoku

Alter beginnt bekanntlich im Kopf. Jeder wünscht sich, möglichst lange geistig fit zu bleiben. Inzwischen gilt als wissenschaftlich erwiesen, dass regelmäßiges Training eine gute Voraussetzung dafür ist, die kleinen Grauen Zellen in Schwung zu halten. Sudoku wie es hier bei sudoku-drucken.de angeboten wird, zählt zu den besten Trainingsmethoden. Täglich ein paar Minuten Sudoku wirkt übrigens mehr als nur hin und wieder einen Rätseltag einzulegen.

Was bewirkt Sudoku?

Warum ist Sudoku so gesund für das Gehirn? Wir alle wissen, dass im Gehirn Daten verarbeitet werden. Wir haben quasi Datenautobahnen im Kopf, die fit und geschmeidig arbeiten können, damit Sinneseindrücke und Informationen so schnell wie möglich verarbeitet werden können. Menschen lernen das ganze Leben lang und das ist wichtig, weil sich die Welt beständig verändert. Das Gehirn muss flexibel und flink sein, wenn es Kombinationen für das passende Verhalten auch in neuen Situationen berechnen muss. Jetzt kommt Sudoku ins Spiel. Das Training über Sudoku trainiert die synaptischen Verbindungen einfach dadurch, dass sie immer wieder angeregt werden, neue Kombinationen zu denken.

Je dichter das Netz umso schneller die Verarbeitung

Je dichter das Netz an Nervenverbindungen im Hirn ist, umso schneller und effektiver werden Informationen verarbeitet. Ein gut trainiertes Gehirn ist mit einer Autobahn zu vergleichen, auf der alle Informationen freie Fahrt haben. Ein Gehirn, dem die Fitness fehlt, ist eher ein Feldweg, auf dem es nicht weitergeht. Die Fitness des Gehirns lässt sich durch Training aktiv beeinflussen. Es gibt zwar keine ewige Jugend, aber das Gehirn kann noch jung sein, wenn der Körper bereits im hohen Alter ist. Da der Abbau des Hirns schon in mittleren Lebensjahren unmerklich beginnt, sollte Hirnjogging so früh wie möglich beginnen.

Regelmäßigkeit ist wichtig

Experten empfehlen ein tägliches Sudoku-Training von jeweils zehn Minuten, einmal am Vormittag und einmal am Nachmittag. Die Regelmäßigkeit ist wichtig, denn sonst kann sich kein Trainingserfolg einstellen. Jemand, der Marathon laufen möchte, trainiert ja auch nicht nur hin und wieder. Die meisten Forscher sind sich einig, dass Zahlenrätsel wie Sudoku oder andere Rätsel wie auf raetsel-buch.com dafür sorgen können, dass das Gehirn jung bleibt. Und ein gut trainiertes Gehirn hat Auswirkungen auf das ganze Leben. Menschen, die sich auf ihren Kopf verlassen können, sind ausgeglichener und haben mehr Lebensfreude. Es lohnt sich, seinen Geist zu trainieren. Es entsteht ein nachhaltiger Effekt, der bis ins hohe Alter für einen wachen Verstand sorgt.

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..und nun viel Spaß beim rätseln!

 

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